Уравнения и методы их решения

 

Министерство общего и профессионального образования РФ

городское образовательное учреждение

Гимназия № 12

сочинение

на тему:  Уравнения и методы их решения

           

                                                                            Выполнил: ученик 10 "А" класса

                                                                                                    Крутько Евгений

Проверила: учитель математики                                                                                                                                        Исхакова Гульсум Акрамовна

Тюмень 2001


Содержание

1. План ............................................................................................................................. 1

2. Введение ...................................................................................................................... 2

3. Основная часть ........................................................................................................... 3

4. Заключение ............................................................................................................... 25

5. Приложение .............................................................................................................. 26

6. перечень использованной литературы ..................................................................... 29


План.

1. Введение.

2. Историческая справка.

3. Уравнения. Алгебраически уравнения.

                        а) главные определения.

                        б) Линейное уравненение и метод его решения.

                        в) Квадратные уравнения и методы его решения.

                        г) Двучленные уравнения метод их решения.

                        д) Кубические уравнения и методы его решения.

                        е) Биквадратное уравнение и метод его решения.

                        ё) Уравнения четвертой степени и методы его решения.

                        ж) Уравнения больших степеней и методы из решения.

                        з) Рациональноное алгебраическое уравнение и метод его

                            решения.

                        и) Иррациональные уравнения и методы его решения.

                        к) Уравнения, содержащие неизвестное под знаком.

                            абсолютной величины и метод его решения.

4. Трансцендентные уравнения.

                        а) Показательные уравнения и метод их решения.

                        б) Логарифмические уравнения и метод их решения.


Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Фактически все, что окружает современного человека – это все так либо по другому связано с математикой. А последние заслуги в физике, технике и информационных разработках не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей остается прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению разных видов уравнений, которые нужно научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположил материал по степени его трудности, начиная с самого обычного. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попытался показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В собственной работе при решении уравнений я не стал ограничиваться лишь реальным решением, но и указал комплексное, так как считаю, что по другому уравнение просто недорешено. Ведь если в уравнении нет реальных корней, то это еще не означает, что оно не имеет решений. К огорчению, из-за нехватки времени я не сумел изложить весь имеющийся у меня материал, но даже по тому материалу, который тут изложен, может появиться множество вопросов. Я надеюсь, что моих знаний хватит для того, чтоб дать ответ на большая часть вопросов. Итак, я приступаю к изложению материала.


Математика... Выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель.

Историческая справка

В те далекие времена, когда мудрецы в первый раз стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверняка, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые замечательно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая совместно с двумя третями её, половиной и одной седьмой составляет 37...", - учил во II тысячелетии до новой эпохи египетский писец Ахмес. В старых математических задачках Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Отлично обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы достаточно удачно управлялись с таковыми задачками.

            Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые обладали какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Но ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы только изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты верно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

но первым управлением по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского наименования этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в отлично знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

уравнения. Алгебраические уравнения

главные определения

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв [1]). Для записи тождества наряду со знаком  также употребляется символ .

Уравнение – это равенство, которое выполняется только при неких значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачки могут быть неравноправны: одни могут воспринимать все свои допустимые значения (их называют параметрами либо коэффициентами уравнения и традиционно обозначают первыми знаками латинского алфавита:, ,  ... – либо теми же знаками, снабженными индексами: , , ... либо , , ...); остальные, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их традиционно обозначают последними знаками латинского алфавита: , , , ... – либо теми же знаками, снабженными индексами: , , ... либо , , ...).

В общем виде уравнение может быть записано так:

(, , ..., ).

В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. Д. Неизвестными.

Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями уравнения.

Решить уравнение – это означает отыскать множество его решений либо доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть нескончаемым, конечным и пустым.

Если все решения уравнения являются решениями уравнения , то молвят, что уравнение  есть следствие уравнения , и пишут 

 .

Два уравнения

и

называют эквивалентными, если каждое из них является следствие другого, и пишут

 .

таковым образом, два уравнения числятся эквивалентными, если множество решений этих уравнений совпадают.

Уравнение  считают эквивалентным двум (либо нескольким) уравнениям , , если множество решений уравнения  совпадает с объединением множеств решений уравнений , .

Н е к о т о р ы е  э к в и в а л е н т н ы е  у р а в н е н и я:

1) Уравнение эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.

2) Уравнение  эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.

3)  эквивалентно двум уравнениям  и  .

4) Уравнение  эквивалентно уравнению .

5) Уравнение  при нечетном n эквивалентно уравнению , а при четном  n эквивалентно двум уравнениям  и .

Алгебраическим уравнением именуется уравнение вида

,

где  – многочлен n-й степени от одной либо нескольких переменных.

            Алгебраическим уравнением с одним неизвестным именуется уравнение, сводящееся к уравнению вида

++ ... ++,

где n – неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена , , , ..., ,  называются коэффициентами (либо параметрами) уравнения и числятся заданными; х именуется неизвестным и является разыскиваемым. Число n именуется степенью уравнения.

            Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в тождество, именуются корнями (реже решениями) алгебраического уравнения.

            Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейное и квадратное уравнения, а также уравнения вида F(х), где F – одна из обычных функций (степенная либо показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс либо котангенс). Такие уравнения числятся простейшими. Так же есть формулы и для кубического уравнения, но его к простым не относят.

            Так вот, основная задачка при решении хоть какого уравнения – свести его к простым.

Все ниже перечисленные уравнения имеют так же и свое графическое решение, которое заключается в том, чтоб представить левую и правую части уравнения как две однообразные функции от неизвестного. Потом строится график поначалу одной функции, а потом другой и точка(и) пересечения двух графиков даст решение(я) исходного уравнения. Примеры графического решения всех уравнений даны в приложении.

Линейное уравнение

Линейным уравнением именуется уравнение первой степени.

                                                                 ,                                                                 (1)

где a и b – некие действительные числа.

            Линейное уравнение постоянно имеет единственный корень , который находится следующим образом.

Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число , получаем уравнение

                                                                   ,                                                                   (2)

эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину , получаем корень уравнения (1):

.

Квадратное уравнение

Алгебраическое уравнение второй степени.

                                                            ,                                                            (3)

где , ,  – некие действительные числа, именуется квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение (3) именуется приведенным.

корешки квадратного уравнения рассчитываются по формуле

,

Выражение  называется дискриминантом квадратного уравнения.

При этом:

если , то уравнение имеет два разных реальных корня;

если , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;

если , то уравнение реальных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:

,                                   ,

Частными видами квадратного уравнения (3) являются:

1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если ), которое традиционно записывается в виде

.

корешки приведенного квадратного уравнения рассчитываются по формуле

                                                    .                                                    (4)

            Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в., Внесшего значимый вклад в становление алгебраической символики.

2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое традиционно записывается в виде

 ( - целое число).

корешки этого квадратного уравнения комфортно вычислять по формуле

                                                      .                                                      (5)

            Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения.

            корешки приведенного квадратного уравнения

соединены с его коэффициентами Формулами Виета

,

.

В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корешки, формулы Виета разрешают судить как о знаках, так и об относительной величине корней квадратного уравнения, а конкретно:

если , , то оба корня отрицательны;

если , , то оба корня положительны;

если , , то уравнение имеет корешки различных символов, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;

если , , уравнение имеет корешки различных символов, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного корня.

Перепишем еще раз квадратное уравнение

                                                                                                                          (6)

и покажем еще один метод как можно вывести корешки квадратного уравнения (6) через его коэффициенты и свободный член. Если

                                                                ++,                                                                (7)

 то корешки квадратного уравнения рассчитываются по формуле

,

откуда

,           .

которая может быть получена в итоге следующих преобразований исходного уравнения, а так же с учетом формулы (7).

,

Заметим, что , поэтому

,

откуда

.

,

но , из формулы (7) поэтому совсем

.

Если положить, что +, то

,

Заметим, что , поэтому

,

откуда

,

но ,  поэтому совсем

.

и

.

Двучленные уравнения

Уравнения n-й степени вида

                                                                                                                                (8)

именуется двучленным уравнением. При  и  заменой [2])

,

где  - арифметическое значение корня, уравнение (8) приводится к уравнению

,

которое и будет далее рассматриваться.

Двучленное уравнение  при нечетном n имеет один действительный корень . В множестве комплексных чисел это уравнение имеет n корней (из которых один действительный и  комплексных):

                   ( 0, 1, 2, ...,  ).                           (9)

            Двучленное уравнение  при четном n в множестве реальных чисел имеет два корня , а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле (9).

Двучленное уравнение  при четном n имеет один действительный корней , а в множестве комплексных чисел  корней, вычисляемых по формуле

    ( 0, 1, 2, ...,  ).                           (10)

Двучленное уравнение  при четном n имеет действительный корней не имеет. В множестве комплексных чисел уравнение имеет  корней, вычисляемых по формуле (10).

            Приведем краткую сводку множеств корней двучленного уравнения для неких конкретных значений n.

            1) ().

            Уравнение имеет два реальных корня .

            2) ().

Уравнение имеет один дествительный корень  и два комплексных корня

.

            3)             ().

Уравнение имеет два реальных корния  и два комплексных корня .

            4)             ().

            Уравнение реальных корней не имеет. Комплексные корешки: .

            5) ().

Уравнение имеет один дествительный корень  и два комплексных корня

.

            6)             ().

Уравнение реальных корней не имеет. Комплексные корешки:

,  .

Кубические уравнения

Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и старой Индии, то кубические, т.Е. Уравнения вида

, где ,

оказались "крепким орешком". В конце XV в. Доктор математики в институтах Рима и Милана Лука Пачоли в собственном именитом учебнике "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" задачку о нахождении общего способа для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов таковой способ скоро был найден.

Начнем с упрощения

Если кубическое уравнение общего вида

, где ,

поделить на , то коэффициент при  станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения

                                                     .                                                     (11)

Так же как в базе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

чтоб не путаться в коэффициентах, заменим тут  на  и перегруппируем слагаемые:

                                           .                                           (12)

Мы видим, что надлежащим выбором , а конкретно взяв , можно добиться того, что правая часть данной формулы будет различаться от левой части уравнения (11) лишь коэффициентом при  и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:

.

Если тут сделать замену , получим кубическое уравнение относительно  без члена с :

.

Итак, мы проявили, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому сейчас будем решать уравнение вида

                                                            .                                                            (13)

Формула Кардано

Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем её по другому:

.

Сравните эту запись с уравнением (13) и попытайтесь установить связь меж ними. Даже с подсказкой это непросто. Нужно отдать подабающее математикам эры Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу :

, либо

.

сейчас уже ясно: для того, чтоб отыскать корень уравнения (13), довольно решить систему уравнений

 или

и взять в качестве  сумму  и . Заменой ,  эта система приводится к совершенно обычному виду:

Дальше можно действовать по-различному, но все "дороги" приведут к одному и тому же квадратному уравнению. К примеру, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного  квадратного уравнения равна коэффициенту при  со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что  и  - корешки уравнения

.

Выпишем эти корешки:

Переменные  и  равны кубическим корням из  и , а разыскиваемое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней:

.

Эта формула популярная как формула Кардано.

Тригонометрическое решение

подстановкой  приводится к "неполному" виду

                         ,   ,   .                         (14)

корешки , , "неполного" кубичного уравнения (14) равны

, ,

где

,    ,

.

Пусть "неполное" кубичное уравнение (14) вправду.

            а) Если  ("неприводимый" вариант), то  и

,

,

где

.

(b) Если , , то

,           ,

где

   ,                 .

(с) Если , , то

,                    ,

где

   ,                .

Во всех вариантах берется действительное значение кубичного корня.

Биквадратное уравнение

Алгебраическое уравнение четвертой степени.

,

где a, b, c – некие действительные числа, именуется биквадратным уравнением. Заменой  уравнение сводится к квадратному уравнению  с последующим решением двух двучленных уравнений  и  ( и  - корешки соответствующего квадратного уравнения).

Если  и , то биквадратное уравнение имеет четыре реальных корня:

,                       .

Если ,  [3]), то биквадратное уравнение имеет два реальных корня  и мнимых сопряженных корня:

.

Если  и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:

,                .

Уравнения четвертой степени

способ решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и именуется – способ Феррари.

            Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

можно избавиться от члена  подстановкой . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

.

            мысль Феррари состояла в том, чтоб представить уравнение в виде , где левая часть – квадрат выражения , а правая часть – квадрат линейного уравнения  от , коэффициенты которого зависят от . После этого остается решить два квадратных уравнения:  и . естественно, такое представление может быть лишь при особом выборе параметра . комфортно взять  в виде , тогда уравнение перепишется так:

                              .                              (15)

Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от . Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.Е.

, либо

 .

Это уравнение именуется резольвентным (т.Е. "Разрешающим"). Относительно  оно кубическое, и формула Кардано дозволяет отыскать какой-нибудь его корень . При  правая часть уравнения (15) воспринимает вид

,

а само уравнение сводится к двум квадратным:

.

Их корешки и дают все решения исходного уравнения.

            Решим для примера уравнение

.

            тут удобнее будет пользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде

и добавим к обеим частям выражение , чтоб в левой части образовался полный квадрат:

.

сейчас приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:

,

либо, после упрощения,

.

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители  свободного члена: . После подстановки этого значения получим уравнение

,

откуда . корешки образовавшихся квадратных уравнений -  и . очевидно, в общем случае могут получиться и комплексные корешки.

Решение Декарта-Эйлера

подстановкой  приводится к "неполному" виду

                                                      .                                                      (16)

корешки , , ,  "неполного" уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений

,

в которых сочетания символов выбираются так, чтоб удовлетворялось условие

,

причем ,  и  - корешки кубичного уравнения

.

Уравнения больших степеней

Разрешимость в радикалах

Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. Итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таковым образом, было установлено, что корешки хоть какого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой употребляются лишь четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения данной степени  () можно "обслужить" одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корешки – и действительные, и комплексные.

            После этого естественно появился вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на него сумел отыскать норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуток ранее этот итог был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:

Общее уравнение степени  при  неразрешимо в радикалах.

           

таковым образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени , не существует. Но это не означает, что нереально решить в радикалах те либо другие частные виды уравнений больших степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой степени – так называемых абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корешки каждого конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с помощью символов арифметических операций и радикалов, в частности, что хоть какое алгебраическое число, т.Е. Корень уравнения вида

, ,

с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через оптимальные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не постоянно. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений, построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его "Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах" (1832 г.; Опубликован в 1846 г.).

            Подчеркнем, что в прикладных задачках нас интересует лишь приближенные значения корней уравнения. Поэтому его разрешимость в радикалах тут традиционно роли не играется. Имеются особые вычислительные способы, позволяющие отыскать корешки хоть какого уравнения с хоть какой наперед заданной точностью, никак не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам.

Уравнения, которые решаются

желают уравнения больших степеней в общем случае неразрешимы в радикалах, да и формулы Кардано и Феррари для уравнений третьей и четвертой степеней в школе не проходят, в учебниках по алгебре, на вступительных экзаменах в университеты время от времени встречаются задачки, где требуется решить уравнения выше второй степени. Традиционно их специально подбирают так, чтоб корешки уравнений можно было отыскать с помощью неких элементарных приемов.

            В базе одного из таковых приемов лежит теорема о оптимальных корнях многочлена:

Если несократимая дробь  является корнем многочлена  с целыми коэффициентами, то её числитель  является делителем свободного члена , а знаменатель  - делителем старшего коэффициента .

           

Для подтверждения довольно подставить в уравнение   и умножить уравнение на . Получим

.

Все слагаемые в левой части, не считая последнего, делятся на , поэтому и  делится на , а поскольку  и  - взаимно обыкновенные числа,  является делителем . подтверждение для  аналогично.

            С помощью данной теоремы можно отыскать все оптимальные корешки уравнения с целыми коэффициентами испытанием конечного числа "кандидатов". к примеру, для уравнения

,

старший коэффициент которого равен 1, "кандидатами" будут делители числа –2. Их всего четыре: 1, -1, 2 и –2. Проверка указывает, что корнем является лишь одно из этих чисел: .

Если один корень найден, можно снизить степень уравнения. Согласно теореме Безу,

остаток от деления многочлена  на двучлен  равен , т. Е. .

Из теоремы конкретно следует, что

Если  - корень многочлена , то многочлен делится на , т. Е. , Где  - многочлен степени, на 1 меньшей, чем .

           

Продолжая наш пример, вынесем из многочлена

множитель . чтоб отыскать частное , можно выполнить деление "уголком":

                                                          

                                                                      

          

                                                                    

                                                                    

                                                                         

                                                                         

                                                                                   0

Но есть и более обычный метод. Он станет понятен из примера:

сейчас остается решить квадратное уравнение . Его корешки:

.

способ неопределенных коэффициентов

Если у многочлена с целыми коэффициентами оптимальных корней не оказалось, можно испытать разложить его на множители меньшей степени с целыми коэффициентами. Рассмотрим, к примеру, уравнение

.

Представим левую часть в виде произведения двух квадратных трехчленов с неизвестными (неопределенными) коэффициентами:

.

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:

.

сейчас, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  в обеих частях, получим систему уравнений

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы нас назад, к решению исходного уравнения. Но целые корешки, если они есть, несложно отыскать и подбором. Не ограничивая общности, можно считать, что , тогда последнее уравнение указывает, что нужно разглядеть только два варианта: ,  и . Подставляя эти пары значений в другие уравнения, убеждаемся, что первая из них дает разыскиваемое разложение: . Этот метод решения именуется способом неопределенных коэффициентов.

            Если уравнение имеет вид , где  и  - многочлены, то замена  сводит его решение к решению двух уравнений меньших степеней:  и .

Возвратные уравнения

Возвратным алгебраическим уравнением именуется уравнение четной степени вида

,

в которых коэффициенты, одинаково отстоят от концов, равны: ,  и т. Д. Такое уравнение сводится к уравнению вдвое меньшей степени делением на  и последующей заменой .

            Рассмотрим, к примеру, уравнение

.

Поделив его на  (что законно, так как  не является корнем), получаем

.

Заметим, что

.

Поэтому величина  удовлетворяет квадратному уравнению

,

решив которое можно отыскать  из уравнения .

            При решении возвратных уравнений более больших степеней традиционно употребляют тот факт, что выражение  при любом  можно представить как многочлен степени  от .

оптимальные алгебраические уравнения

оптимальным алгебраическим уравнением именуется уравнение вида

                                                                  ,                                                                  (17)

где  и  - многочлены. Далее для определенности будем полагать, что  - многочлен m-й степени, а  - многочлен n-й степени.

            Множество допустимых значений оптимального алгебраического уравнения (17)

задается условием , т. Е. , , ...,  где , , ...,  - корешки многочлена .

            способ решения уравнения (17) заключается в следующем. Решаем уравнение

,

корешки которого обозначим через

.

Сравниваем множества корней многочленов  и . Если никакой корень многочлена  не является корнем многочлена , то все корешки многочлена  являются корнями уравнения (17). Если какой-нибудь корень многочлена  является корнем многочлена, то нужно сопоставить из кратности: если кратность корня многочлена  больше кратности корня многочлена , то этот корень является корнем (17) с кратностью, равной разности кратностей корней делимого и делителя; в неприятном случае корень многочлена  не является корнем оптимального уравнения (17).

            П р и м е р. Найдем действительные корешки уравнения

,

где , .

Многочлен  имеет два реальных корня (оба обыкновенные):

, .

Многочлен  имеет один обычный корень . Следовательно, уравнение имеет один действительный корень .

            Решая то же самое уравнение в множестве комплексных чисел, получим, что уравнение  имеет, не считая указанного реального корня, два комплексно сопряженных корня:

, .

Иррациональные уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное (или рациональное алгебраическое выражение от неизвестного) под знаком радикала, называют иррациональным уравнением. В элементарной математике решения иррациональных уравнений отыскивается в множестве реальных чисел.

Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных алгебраических операций (умножение, деление, возведение в целую степень обеих частей уравнения) может быть сведено к оптимальному алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное рациональное алгебраическое уравнение может оказаться неэквивалентным исходному иррациональному уравнению, а конкретно может содержать "лишние" корешки, которые не будут корнями исходного иррационального уравнения. Поэтому, найдя корешки полученного оптимального алгебраического уравнения, нужно проверить, а будут ли все корешки оптимального уравнения корнями иррационального уравнения.        

            В общем случае тяжело указать какой-или универсальный способ решения хоть какого иррационального уравнения, так как лучше, чтоб в итоге преобразований исходного иррационального уравнения вышло не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, посреди корней которого будут и корешки данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить то рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней оптимального алгебраического уравнения само по себе может оказаться достаточно трудной задачей, решить которую полностью мы можем только в очень ограниченном числе случаев.

Приведем некие обычные, более частенько применяемые способы решения иррациональных алгебраических уравнений.

1) Одним из самых обычных приемов решения иррациональных уравнений является способ освобождения от радикалов методом последовательного возведения обеих частей уравнения в подобающую натуральную степень. При этом следует иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень полученное уравнение, эквивалентное исходному, а при возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение будет, вообще говоря, неэквивалентным исходному уравнению. В этом просто убедиться, возведя обе части уравнения

в всякую четную степень. В итоге данной операции выходит уравнение

множество решений которого представляет собой объединение множеств решений:

 и .

но, несмотря на этот недочет, конкретно процедура возведения обеих частей уравнения в некоторую (частенько четную) степень является самой распространенной процедурой сведения иррационального уравнения к оптимальному уравнению.

П р и м е р 1. Решить уравнение

                                                    ,                                                    (18)

где , ,  - некие многочлены.

В силу определения операции извлечения корня в множестве реальных чисел допустимые значения неизвестного  определяются условиями

, .

Возведя обе части уравнения (18) в квадрат, получим уравнение

.

После повторного возведения в квадрат уравнение преобразуется в алгебраическое уравнение

                                       .                                       (19)

Так как обе части уравнения (18) возводились в квадрат, может оказаться, что не все корешки уравнения (19) будет являться решениями исходного уравнения, нужна проверка корней.

            2) иным примером решения иррациональных уравнений является метод введения новейших неизвестных, относительно которых выходит или более обычное иррациональное уравнение, или рациональное уравнение.

            П р и м е р 2. Решить иррациональное уравнение

.

            Множество допустимых значений этого уравнения:

.

            Положив , после подстановки получим уравнение

либо эквивалентное ему уравнение

,

которое можно разглядывать как квадратное уравнение относительно . Решая это уравнение, получим

,           .

Следовательно, множество решений исходного иррационального уравнения представляет собой объединение множеств решений следующих двух уравнений:

, .

            Возведя обе части каждого из этих уравнений в куб, получим два оптимальных алгебраических уравнения:

,                  .

            Решая эти уравнения, находим, что данное иррациональное уравнение имеет единственный корень .

            В заключение заметим, что при решении иррациональных уравнений не следует начинать решение уравнение с возведения обеих частей уравнений в натуральную степень, пытаясь свести решение иррационального уравнения к решению оптимального алгебраического уравнения. Поначалу нужно поглядеть, нельзя ли сделать какое-нибудь тождественное преобразование уравнения, которое может значительно упростить его решение.

            П р и м е р 3. Решить уравнение

                                                 .                                                 (20)

Множество допустимых значений данного уравнения: . Сделаем следующие преобразования данного уравнения:

.

Далее, записывая уравнение в виде

,

получим:

            при  уравнение решений иметь не будет;

            при  уравнение может быть записано в виде

.

            При  данное уравнение решений не имеет, так как при любом , принадлежащем множеству допустимых значений уравнения, выражение, стоящее в левой части уравнения, положительно.

            При  уравнение имеет решение

.

            Принимая во внимание, что множество допустимых решений уравнения определяется условием , получаем совсем:

            При  решением иррационального уравнения (20) будет

.

            При всех других значениях  уравнение решений не имеет, т. Е. Множество его решений – пустое множество.

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины, можно свести к уравнениям, не содержащим знака абсолютной величины, используя определение модуля. Так, к примеру, решение уравнения

                                                                                                              (21)

сводится к решению двух уравнений с дополнительными условиями.

            1) Если , то уравнение (21) приводится к виду

                                                            .                                                            (22)

            Решения этого уравнения: , . Условию  удовлетворяет второй корень квадратного уравнения (22), и число 3 является корнем уравнения (21).

            2) Если , уравнение (21) приводится к виду

.

            Корнями этого уравнения будут числа  и . Первый корень  не удовлетворяет условию  и поэтому не является решением данного уравнения (21).

            таковым образом, решениями уравнения (21) будут числа 3 и .

            Заметим, что коэффициенты уравнения, содержащего неизвестное под знаком абсолютной величины, можно подобрать таковым образом, что решениями уравнения будут все значения неизвестного, принадлежащие некоторому промежутку числовой оси. К примеру, решим уравнение

                                                             .                                                             (23)

            Рассмотрим числовую ось Ох и отметим на ней точки 0 и 3 (ноли функций, стоящих под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют числовую ось на три промежутка  (рис. 1):

, , .


                                                            0                       3                              x

рис. 1.

            1) При   уравнение (23) приводится к виду

.

            В промежутке  последнее уравнение решений не имеет.

Аналогично, при  уравнение (23) приводится к виду

и в промежутке  решений не имеет.

            2) При  уравнение (23)  приводится к виду

,

т. Е. Обращается в тождество. Следовательно, хоть какое значение  является решением уравнения (23).

Трансцендентные уравнения

            Уравнение, не сводящееся к алгебраическому уравнению с помощью алгебраических преобразований, именуется трансцендентным уравнением [4]).

            Простешими трансцендентными уравнениями являются показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

Показательные уравнения

Показательным уравнением именуется уравнение, в котором неизвестное входит лишь в характеристики степеней при неких неизменных основаниях.

простым показательным уравнением, решение которого сводится к решению алгебраического уравнения, является уравнение вида

                                                                   ,                                                                   (24)

где  и  - некие положительные числа . Показательное уравнение (24) эквивалентно алгебраическому уравнению

.

            В простом случае, когда , показательное уравнение (24) имеет решение

            Множество решений показательного уравнения вида

                                                                 ,                                                                 (25)

где  - некий многочлен, находится следующим образом.

            Вводится новая переменная , и уравнение (25) решается как алгебраическое относительно неизвестного . После этого решение исходного уравнения (25) сводится к решению простых показательных уравнений вида (24).

            П р и м е р 1. Решить уравнение

.

Записывая уравнение в виде

и вводя новенькую переменную , получаем кубическое уравнение относительно переменной :

.

несложно убедиться, что данное кубическое уравнение имеет единственный оптимальный корень  и два иррациональных корня:  и .

таковым образом, решение исходного уравнения сведено к решению простых показательных уравнений:

, , .

Последнее из перечисленных, уравнений решений не имеет. Множество решений первого и второго уравнений:

 и .

Н е к о т о р ы е   п р о с т е й ш и е  п о к а з а т е л ь н ы е  у р а в н е н и я:

            1) Уравнение вида

заменой  сводится к квадратному уравнению

.

            2) Уравнение вида

заменой  сводится к квадратному уравнению

.

3) Уравнение вида

заменой  сводится к квадратному уравнению

.

Логарифмические уравнения

Логарифмическим уравнением именуется уравнение, в котором неизвестное входит в виде аргумента логарифмической функции.

            простым логарифмическим уравнением является уравнение вида

                                                              ,                                                              (26)

где  - некое положительно число, хорошее от единицы,  - хоть какое действительное число. Логарифмическое уравнение (26) эквивалентно алгебраическому уравнению

.

В простом случае, когда , логарифмическое уравнение (26) имеет решение

.

Множество решений логарифмического уравнения вида , где  - некий многочлен указанного неизвестного, находится следующим образом.

Вводится новая переменная , и уравнение (25) решается как алгебраическое уравнение относительно . После этого решаются простые логарифмические уравнения вида (25).

П р и м е р 1. Решить уравнение

                                                    .                                                    (27)

            Относительно неизвестного  данное уравнение – квадратное:

.

            корешки этого уравнения: , .

            Решая логарифмические уравнения

, ,

получаем решения логарифмического уравнения (27): , .

            В неких вариантах, для того чтоб свести решение логарифмического уравнения к последовательному решению алгебраического и простых логарифмических уравнений, нужно предварительно сделать подходящие преобразования логарифмов, входящих в уравнение. Таковыми преобразованиями могут быть преобразование суммы логарифмов двух величин в логарифм произведения этих величин, переход от логарифма с одним основанием к логарифму с иным основанием и т. Д.

            П р и м е р 2. Решить уравнение

                                            .                                            (28)

            Для того чтоб свести решение данного уравнения к последовательному решению алгебраического и простых логарифмических уравнений, нужно до этого всего привести все логарифмы к одному основанию (тут, к примеру, к основанию 2). Для этого воспользуемся формулой

,

в силу которой . Подставив в уравнение (28) заместо  равную ему величину, получаем уравнение

.

            Заменой  это уравнение сводится к квадратному уравнению относительно неизвестного :

.

корешки этого квадратного уравнения: , . Решаем уравнения  и :

,

,

            П р и м е р 3. Решить уравнение

.

            Преобразуя разность логарифмов двух величин в логарифм частного этих величин:

,

сводим данное уравнение к простейшему логарифмическому уравнению

.

Заключение

            Математика, как и неважно какая другая наука не стоит на месте, совместно с развитием общества изменяются и взоры людей, появляются новейшие мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в методы решения уравнений и существенно их облегчило. Но компьютер не постоянно может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых основных способов решения уравнений нужно знать. Внедрение уравнений в повседневной жизни – уникальность. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и фактически во всех новейших разработках.

В данной работе были представлены далеко не все, методы решения уравнений и даже не все их виды, а лишь самые главные. Я надеюсь, что мое сочинение может послужить неплохим справочным материалом при решении тех либо других уравнений. В заключении хотелось бы отметить, что при написании данного сочинения я не ставил себе цели показать все виды уравнений, а излагал только имеющийся у меня материал.


перечень использованной литературы

1. Глав. Ред. М. Д. Аксенова. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.

2. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980.- 400 с.

3. Г. Корн и Т. Корн. Справаочник по математике для начуных работников и инженеров. – М.: Наука, 1970.- 720 с.


[1]) Под допустимыми понимаются те численные значения букв, при которых выполнимы все операции, совершаемые над знаками, входящими в равенство. К примеру, допустимыми значениями букв, входящих в равенство

будут следующие; для ; для , для

[2]) Если a и b имеют различные знаки, то .

[3]) вариант ,  аналогичен разобранному.

[4]) Под алгебраическими преобразованиями уравнения

соображают следующие преобразования:

1) прибавление к обеим частям уравнения одного и того же алгебраического выражения;

                2) умножение обеих частей уравнения на одно и то же алгебраическое выражение;

                3) возведение обеих частей уравнения в рациональную степень.




    Еще работы данной категории:


Темный аист
обширно распространенный, но чень редкий вид с тенденцией к дальнейшему понижению численности. Занесен в Красную книгу .Относится к редким пролетным и гнездящимся видам птиц....

Симментальская порода
СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. СИММЕНТАЛЬСКАЯ ПОРОДА 2. ПОМЕСНЫЙ СИММЕНТАЛЬСКИЙ СКОТ ЗАКЛЮЧЕНИЕ перечень ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ....

Анализ эксплуатационного обслуживания ВЦ средней производительности
Анализ эксплуатационного обслуживания ВЦ средней производительности КУРСОВОЙ ПРОЕКТ МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ русской ФЕДЕРАЦИИ столичный ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО....

Улучшение политики укрепления налоговой базы регионов
СОДЕРЖАНИЕВведение 3 1. Теоретические базы налогообложения доходная база территориального бюджета 7 1.1 Экономическая природа налогов и их классификация 7 1.2.....

Глинтвейн
Напиток для многих знакомый больше по классической литературе. Глинтвейн (от германского gluhende Wein - горячее, пылающее вино) незаменим в прохладное время года. Он в....

Химия платины и её соединений
столичный Государственный институт им. М. В. Ломоносова Химический факультет Кафедра общей химии Курсовая работа Студента 2 курса 226 группы Янюшина Александра....

Усилитель приёмного блока широкополосного локатора
Реферат Курсовой проект 18 с., 11 Рис., 1 Табл. КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ (Кu), АМПЛИТУДНОЧАСТОТНЫЕ свойства (АЧХ), ТЕРМОСТАБИЛИЗАЦИЯ, РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ ЁМКОСТИ, ДРОССЕЛИ,....